31/1/1957 tarihinde Afyonkarahisar’da doğmuştur. İlk ve ortaöğrenimini Afyonkarahisar’da tamamlamıştır. 1975-1976 eğitim-öğretim yılında Ankara İktisadi Ticari İlimler Akademisi Gazetecilik ve Halkla İlişkiler Yüksek Okulunda okumuştur. Bu okulda öğrenci iken 1976 yılında Ankara Üniversitesi Hukuk Fakültesini kazanarak hukuk öğrenimine başlamıştır. Hukuk Fakültesinden 1982 yılında mezun olduktan sonra avukatlık stajını tamamlayarak 1984’te Afyonkarahisar’da avukatlığa başlamıştır.
1984-1985 yılları arasında Sivas 5. Piyade Er Eğitim Tugay Komutanlığı Askerî Mahkemesinde yedek subay askerî hâkim olarak askerlik hizmetini tamamlamıştır. 1988-2000 yılları arasında Baro Yönetim Kurulu üyeliğinde bulunmuş, 2001 yılında yapılan Olağanüstü Genel Kurul sonrasında Afyonkarahisar Baro başkanlığına seçilmiştir.
Afyonkarahisar Baro başkanlığı görevini sürdürürken 2010 yılında, 5982 sayılı Kanun’a göre Baro başkanları tarafından seçilen üç aday arasına girmiş; Türkiye Büyük Millet Meclisinin 13/10/2010 tarihli Genel Kurulunda yapılan seçim sonucu Anayasa Mahkemesi üyeliği görevine getirilmiştir. 17/12/2020 tarihinde Uyuşmazlık Mahkemesi başkanlığına seçilmiş olup 11/1/2021 tarihinde de Uyuşmazlık Mahkemesi Başkanlığı görevine başlamıştır. 31/1/2022 tarihinde emekli olmuştur.
Celal Mümtaz Akıncı evli ve dört çocuk babasıdır.